Question

一只球放在桌面上，桌面上一點(diǎn)A的正上方有一點(diǎn)光源O，OA與球相切，讓A在桌面上運(yùn)動(dòng)，OA始終與球相切，OA形成一個(gè)軸截面頂角為45°的圓錐，則點(diǎn)A的軌跡橢圓的離心率為

2

-1

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓曲線的第一定義，作出過圓錐的軸與橢圓長(zhǎng)軸AA′的截面，可得等腰直角三角形AOA′，在此三角形中利用切線長(zhǎng)定理，可以求出焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸頂點(diǎn)距離AF與AA′的關(guān)系式，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，化為關(guān)于橢圓的參數(shù)a、c的等量關(guān)系，即可求出橢圓的離心率．

解答：解：如圖是過圓錐的軸與橢圓長(zhǎng)軸AA′的截面，根據(jù)圓錐曲線的定義，
可得球與長(zhǎng)軸AA′的切點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)F，OA⊥AA′
設(shè)光線OA與球相切于點(diǎn)E，OA′與球相切于點(diǎn)D
∵等腰直角三角形AOA′中，OA=AA′=

2

2

OA^/
∴AF=AE=

1

2

（OA+AA′-OA′）=AA′-

2

2

AA′=（1-

2

2

）AA′
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得長(zhǎng)軸AA′=2a，
AF是焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的距離AF=a-c
代入到上式，得a-c=（1-

2

2

）•2a⇒

c

a

=

2

-1
所以所求橢圓的離心率為

2

-1
故答案為：

2

-1

點(diǎn)評(píng)：本題以空間的圓錐為載體，考查了圓錐曲線的形成過程，同時(shí)考查了橢圓的基本量，屬于中檔題．深刻理解空間位置關(guān)系和橢圓的定義與性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．