Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ ．
（1）若a＞0，試判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為 ，求a的值；
（3）若f（x）＞x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=lnx﹣ ，

∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）， ，

∵a＞0，∴f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增

（2）解：由（1），當(dāng)a≥0時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，

∴f（x）min=f（1）=﹣a= ，

∴a=﹣ ，不舍題意，舍；

當(dāng)﹣e＜a＜0時，f（x）在[1，﹣a]上單調(diào)遞減，在[﹣a，e]上單調(diào)遞增，

∴f（x）min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1= ，解得a=﹣ ；

當(dāng)a＜﹣e時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，

∴f（x）min=f（1）=﹣a= ，解得a=﹣ ，不合題意，舍；

綜上所述，a=﹣

（3）解：∵ ，∴a＞xlnx﹣x3，

令g（x）=xlnx﹣x3，則g′（x）=lnx+1﹣3x2， ，

當(dāng)x＞1時，g'（x）＜0，∴g′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

∴g′（x）＜g′（1）=2＜0，

∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

∴g（x）＜g（1）=﹣1．

∴a≥﹣1．

∴f（x）＞x2在（1，+∞）上恒成立，a的取值范圍是[﹣1，+∞）

【解析】（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）， ，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（2）由（1）根據(jù)a的取值范圍分類討論，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的值．（3）由 ，得a＞xlnx﹣x3 ， 令g（x）=xlnx﹣x3 ， 由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．