Question

已知命題：P：對任意a∈[1，2]，不等式|m-5|≤

a2+8

恒成立；q：函數(shù)f（x）=x³+mx²+（m+6）x+1存在極大值和極小值．求使命題“p且q”為真命題的m的取值范圍．

Answer 1

分析：若p真，求出

a2+8

在a∈[1，2]上的最小值，令|m-5|小于等于最小值解不等式求出m的范圍，
若q真，令f（x）的導(dǎo)函數(shù)的判別式大于0，求出m的范圍，求出命題q為真時m的范圍；再根據(jù)復(fù)合命題真值表求出p真、q真時m的范圍．

解答：解：命題P為真：對任意a∈[1，2]，不等式|m-5|≤

a2+8

恒成立．
∵

a2+8

≥3，a∈[1，2]，
∴應(yīng)有|m-5|≤3，
解得2≤m≤8．
命題q為真：函數(shù)f（x）=x³+mx²+mx+6x+1存在極大值和極小值，
f'（x）=3x²+2mx+m+6
若存在極大值和極小值，則有△=4m²-12（m+6）＞0．
解得m＞6或m＜-3．
根據(jù)復(fù)合命題真值表，若“P且q”為真命題，則命題P，命題q都是真命題，
則使命題“p且q”為真命題的m的取值范圍是：6＜m≤8．

點評：解決不等式恒成立問題常采用的方法是分離出參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，求函數(shù)的最值；求復(fù)合命題真假的問題常轉(zhuǎn)化為構(gòu)成復(fù)合命題的簡單命題的真假問題來處理．