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        1. 某人在山頂觀察地面上相距2 500 m的A、B兩個(gè)目標(biāo),測(cè)得目標(biāo)A在南偏西57°,俯角為30°,同時(shí)測(cè)得B在南偏東78°,俯角是45°,求山高(設(shè)A、B與山底在同一平面上,計(jì)算結(jié)果精確到0.1 m).
          分析:設(shè)山高PQ,則,∠PAQ和∠PBQ可知,然后在△APQ、△BPQ中表示出AQ,BQ,求∠AQB和AB,最后利用余弦定理求得關(guān)于h的一元二次方程求得h.
          解答:解:畫(huà)出示意圖(如圖所示)
          設(shè)山高PQ=h,則△APQ、△BPQ均為直角三角形,
          在圖(1)中,∠PAQ=30°,∠PBQ=45°.
          ∴AQ=
          PQ
          tan30°
          =
          3
          h
          ,BQ=
          PQ
          tan45°
          =h.
          在圖(2)中,
          ∠AQB=57°+78°=135°,AB=2500,
          所以由余弦定理得:
          AB2=AQ2+BQ2-2AQ•BQcos∠AQB,
          即25002=(
          3
          h)2+h2-2
          3
          h•h•cos135°=(4+
          6
          )h2,
          ∴h=
          2500
          4+
          6
          ≈984.4(m).
          答:山高約984.4m.
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用,正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.作為解決實(shí)際問(wèn)題而言,建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型是正確解題的重要前提.
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