Question

（2011•惠州模擬）已知函數(shù)y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x．
（1）求該函數(shù)的最小正周期和最小值；
（2）若x∈[0，π]，求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)解析式第二項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第一、三項(xiàng)利用平方差公式分解因式后利用同角三角 函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函數(shù)的最小正周期；由正弦函數(shù)的值域得出函數(shù)的值域，即可確定出函數(shù)的最小值；
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集，令解集中k=0和1，得到x的范圍，與x∈[0，π]取交集，即可得到該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）y=sin⁴x+2

3

sinxcosx-cos⁴x
=

3

sin2x+（sin⁴x-cos⁴x）
=

3

sin2x+（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）
=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），…（4分）
∵ω=2，∴T=π，
又-1≤sin（2x-

π

6

）≤1，∴-2≤2sin（2x-

π

6

）≤2，
則y_min=-2；…（6分）
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

2

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
則kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，…（8分）
令k=0，1，得到x∈[-

π

6

，

π

3

]或x∈[

5π

6

，

4π

3

]，…（10分）
與x∈[0，π]取交集，得到x∈[0，

π

3

]或x∈[

5π

6

，π]，
則當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是x∈[0，

π

3

]和x∈[

5π

6

，π]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，涉及的知識(shí)有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．