Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為A₁B₁，CD的中點．
（1）求直線EC與AF所成角的余弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通過建立空間直角坐標系，得到

AF

與

CE

的坐標，利用它們的夾角公式即可得到異面直線EC與AF所成角的余弦值；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)求出平面ABCD與平面AEF的一個法向量，利用法向量的夾角即可得到二面角的余弦值．

解答：解：（1）建立空間直角坐標系．
則A（2，0，0），F(xiàn)（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），
∴

AF

=(-2，1，0)，

CE

=(2，-1，2)．
∴cos＜

AF，

CE

＞=

-4-1

(-2)2+12 • 22+(-1)2+22

=-

5

3

，
故直線EC與AF所成角的余弦值為

5

3

．
（2）平面ABCD的一個法向量為

n1

=(0，0，1)．
設平面AEF的一個法向量為

n2

=(x，y，z)，
∵

AF

=(-2，1，0)，

AE

=(0，1，2)，∴

-2x+y=0 y+2z=0

，
令x=1，則y=2，z=-1⇒

n2

=(1，2，-1)，
∴cosθ=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=|

-1

1+4+1

|=

6

6

．
由圖知二面角E-AF-B為銳二面角，其余弦值為

6

6

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系、利用異面直線的方向向量的夾角公式即可得到異面直線EC與AF所成角的余弦值、利用兩個平面的法向量的夾角得到二面角的余弦值的方法是解題的關鍵．