Question

（2006•石景山區(qū)一模）袋中裝有大小、質(zhì)地相同的8個(gè)小球，其中紅色小球4個(gè)，藍(lán)色和白色小球各 2個(gè)．某學(xué)生從袋中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)小球，記下顏色后放回．規(guī)定每次摸出紅色小球記2分，摸出藍(lán)色小球記1分，摸出白色小球記0分．
（Ⅰ）求該生在4次摸球中恰有3次摸出紅色小球的概率；
（Ⅱ）求該生兩次摸球后恰好得2分的概率；
（Ⅲ）求該生兩次摸球后得分ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求得每次摸球得到紅球的概率，由于每次摸球?yàn)橄嗷オ?dú)立事件，故可用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生k次的概率計(jì)算公式求；
（Ⅱ）該生兩次摸球后恰好得（2分）包括：“兩次中摸到一紅一白”和“兩次均摸到藍(lán)球”兩種情況，分別求出概率再相加；
（Ⅲ）兩次摸球得分ξ的可能取值為0，1，2，3，4．利用獨(dú)立事件的概率乘法公式分別求得其概率，再用期望公式可求得結(jié)果；

解答：解：（Ⅰ）“摸出紅色小球”，“摸出藍(lán)色小球”，“摸出白色小球”分別記為事件A，B，C．
由題意得：P(A)=

4

8

=

1

2

，P(B)=P(C)=

2

8

=

1

4

．
因每次摸球?yàn)橄嗷オ?dú)立事件，故4次摸球中恰有3次摸出紅色小球的概率為：P4(3)=

C

3 4

(

1

2

)3(1-

1

2

)=

1

4

．  
（Ⅱ）該生兩次摸球后恰好得（2分）的概率P=

C

1 2

P(A)P(C)+P(B)P(B)=

5

16

．
（Ⅲ）兩次摸球得分ξ的可能取值為0，1，2，3，4．
則P(ξ=0)=P(C)P(C)=

1

16

；P(ξ=1)=

C

1 2

P(B)P(C)=2×

1

4

×

1

4

=

1

8

；
P(ξ=2)=

C

1 2

P(A)P(C)+P(B)P(B)=

5

16

；P(ξ=3)=

C

1 2

P(A)P(C)=

1

4

；P(ξ=4)=P(A)P(A)=

1

4

．  
∴Eξ=0×

1

16

+1×

1

8

+2×

5

16

+3×

1

4

+4×

1

4

=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力．