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        1. 已知點(diǎn)G是△ABC的重心,A(0, -1),B(0, 1),在x軸上有一點(diǎn)M,滿足||=||, (∈R).
          ⑴求點(diǎn)C的軌跡方程;
          ⑵若斜率為k的直線l與點(diǎn)C的軌跡交于不同兩點(diǎn)P,Q,且滿足||=||,試求k的取值范圍.
          ⑴設(shè)C(x, y),則G(,).∵(∈R),∴GM//AB,
          又M是x軸上一點(diǎn),則M(, 0).又||=||,

          整理得,即為曲線C的方程.
          ⑵①當(dāng)k=0時(shí),l和橢圓C有不同兩交點(diǎn)P,Q,根據(jù)橢圓對(duì)稱性有||=||.
          ②當(dāng)k≠0時(shí),可設(shè)l的方程為y=kx+m,
          聯(lián)立方程組   y=kx+m

          消去y,整理行(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0(*)
          ∵直線l和橢圓C交于不同兩點(diǎn),
          ∴△=(6km)2-4(1+3k2)×( m2-1)>0,即1+3k2-m2>0.         (1)   
          設(shè)P(x1, y1),Q(x2, y2),則x1, x2是方程(*)的兩相異實(shí)根,∴x1x2=-
          則PQ的中點(diǎn)N(x0, y0)的坐標(biāo)是x0==-,y0= kx0+m=
          即N(-, ),
          又||=||,∴,
          k·kAN=k·=-1,∴m=.
          將m=代入(1)式,得 1+3k2-()2>0(k≠0),
          k2<1,∴k∈(-1, 0)∪(0, 1).
          綜合①②得,k的取值范圍是(-1, 1).
          本題依托向量給出等量關(guān)系,既考查向量的模、共線等基礎(chǔ)知識(shí),又考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡,直線與橢圓的位置關(guān)系.通過向量和解析幾何間的聯(lián)系,陳題新組,考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法.按照求軌跡方程的方法步驟,把向量問題坐標(biāo)化,幾何問題代數(shù)化.對(duì)題目的要求:有較大的難度,有特別的解題思路、演變角度,要有一定的梯度.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

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          已知為銳角△的外心,
          =+,且,求的值.

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          中,,,邊上的高,的中點(diǎn),若,則的值為
                    

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          己知向量,的夾角為60°,直線與圓的位置關(guān)系是 (  )
          A.相切B.相交C.相離D.隨的值而定

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          A.B.
          C.D.

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          在空間直角坐標(biāo)系中,滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的空間區(qū)域的體積為分別表示不大于的最大整數(shù)),則="      " _

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          如圖,是平面上的三點(diǎn),向量ab,設(shè)為線段的垂直平分線上任意一點(diǎn),向量p.若|a|=4,|b|=2,則p.(a b)等于      (   )
          A.1B.3
          C.5D.6

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

          已知,,的夾角為,則為   (   )
          A.B.C.D.

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