Question

如果以原點為圓心的圓經過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的頂點，并且被直線x=

a2

c

（c為雙曲線的半焦距）分為弧長為3：1的兩段弧，則該雙曲線的離心等于…（　　）

• A．2
• B．

  3

• C．

  2

• D．

  6

  2

Answer 1

分析：設雙曲線焦點為F，準線與圓的一個交點為A，與x軸交點為B．圓被右準線分成弧長為1：2兩段，則劣弧所對圓心角為120°，由△OFA是等邊三角形，能求出該雙曲線的離心率．

解答：解：設雙曲線焦點為F，
準線與圓的一個交點為A，與x軸交點為B．
圓被右準線分成弧長為1：2兩段，
則劣弧所對圓心角為120°，
∵∠AOF=60°且AO=OF，
∴△OFA是等邊三角形，
故OF=2OB，即
c=

2a2

c

，
∴(

c

a

)2=2，
解得e=

2

．
故選C．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．