Question

【題目】已知，．

（1）當時，求證：對于，恒成立；

（2）若存在，使得當時，恒有成立，試求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，得出的最大值，證明即可；

（2）由（1）易知時顯然不滿足，而時，時，，此時更不可能成立，當時，令，通過導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，證得成立即可.

（1）證明：當時，

令，，

令，即，解得或（舍）．

所以當時，，在上單調(diào)遞減．

所以，

所以對于，即.

（2）由（1）知，當時，恒成立，即對于，

不存在滿足條件的；

當時，對于，，此時，

所以，

即恒成立，不存在滿足條件的；

當時，令，，

令，

又為一開口向下的拋物線，且時，，

又，

所以必存在，使得．

所以時，，，單調(diào)遞增；

當時，，，單調(diào)遞減．

當時，，即恒成立，

綜上，k的取值范圍為．