Question

【題目】設、分別為橢圓的左右頂點，設點為直線上不同于點的任意一點，若直線、分別與橢圓相交于異于、的點、.

（1）判斷與以為直徑的圓的位置關系（內、外、上）并證明.

（2）記直線與軸的交點為，在直線上，求點，使得.

Answer 1

【答案】（1）點在以為直徑的圓內，證明見解析；（2）

【解析】

（1）設，，由在橢圓上可得且；由三點共線可得，表示出，可整理得到，從而可知為銳角，得到為鈍角，從而得到在以為直徑的圓內；

（2）設，，由三點共線得到；根據可知，從而構造出關于的方程，求得，進而得到，求得點坐標.

（1）點在以為直徑的圓內．證明如下：

由已知可得，，設，，

在橢圓上，…①

又點異于頂點，

由三點共線可得：，即

，

…②

將①代入②化簡可得：

為銳角，為鈍角

在以為直徑的圓內

（2）設，

由三點共線可得：，即

又等價于 ， ，

，解得：，