Question

設(shè)單調(diào)遞增函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y有f（xy）=f（x）+f（y），且．
（1）一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：f（s_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，是否存在正數(shù)M使下列不等式：2ⁿ•a₁a₂…a_n≥M對(duì)一切n∈N^*成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1由題設(shè)知．．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）、假設(shè)對(duì)一切n∈N^*恒成立．令，．故，由此能導(dǎo)出n∈N^*，g（n）≥g（1）=，．
解答：解：（1）∵對(duì)任意的正數(shù)x、y均有f（xy）=f（x）+f（y）且．（2分）
又∵a_n＞0且f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1=f（a_n）+f（a_n+1）+．
∴．（4分）
又∵f（x）是定義在（0，+∞]上的單增函數(shù)，
∴S_n=．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=，
∴a₁²-a₁=0∵a₁＞0，
∴a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，∵2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0．
∵a_n＞0∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
∴{a_n}為等差數(shù)列，a₁=1，d=1
∴a_n=n．（6分）

（2）、假設(shè)M存在滿(mǎn)足條件，即M≤對(duì)一切n∈N^*恒成立．（8分）
令g（n）=，
∴g（n+1）=．（10分）
故＞1，
∴g（n+1）＞g（n），
∴g（n）單調(diào)遞增，（12分）
∴n∈N^*，g（n）≥g（1）=，0＜M≤．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用．