Question

設(shè)數(shù)列{a_n}中，S_n是它的前n項(xiàng)和，a₁=4，na_n+1=S_n+n（n+1）對(duì)任意n∈N^*均成立．
（I）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（II）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n+1-b_n=a_n，其中b₁=2，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（III）設(shè)cn=

1

bn

，求證：c₁+c₂+…+c_n＜1．

Answer 1

分析：（I）利用數(shù)列中前n項(xiàng)和S_n與通項(xiàng)a_n之間的關(guān)系，將前n項(xiàng)和S_n轉(zhuǎn)化為通項(xiàng)a_n之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．用等差數(shù)列的定義判斷該數(shù)列是等差數(shù)列；
（II）發(fā)現(xiàn)數(shù)列{b_n}的規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和問題．
（III）裂項(xiàng)求和是解決本小題的關(guān)鍵．利用放縮法從左邊放縮到右邊．

解答：解：（I）∵na_n+1=S_n+n（n+1）①∴（n-1）a_n=S_n-1+（n-1）n（n≥2）②
①-②整理得，a_n+1-a_n=2（n≥2）
又由①，取n=1得a₂-a₁=2∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*）
∴數(shù)列{a_n}是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
（II）由（I）知a_n=4+2（n-1）=2（n+1）
∴b_n+1-b_n=2（n+1）
∴（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₃-b₂）+（b₂-b₁）=2n+2（n-1）+…+2×3+2×2=n²+n-2
∴b_n=n（n+1）．
（III）由cn=

1

bn

得，cn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴c₁+c₂+…+c_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的確定，利用等差數(shù)列的定義解決．考查數(shù)列中前n項(xiàng)和S_n與通項(xiàng)a_n之間的關(guān)系，考查學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和化歸思想，數(shù)列求和的裂項(xiàng)求和方法，證明不等式的放縮法等方法．