Question

給出下列命題：
（1）函數(shù)f（x）=tanx有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；
（2）若關(guān)于x的方程（(

1

2

)|x|-m=0有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1]；
（3）把函數(shù)f（x）=2sin2x的圖象沿x軸方向向左平移

π

6

個(gè)單位后，得到的函數(shù)解析式可以表示成f（x）=2sin2（x+

π

6

）；
（4）函數(shù)f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的值域是[-1，1]；
（5）已知函數(shù)f（x）=2cosx，若存在實(shí)數(shù)x₁，x₂，使得對任意的實(shí)數(shù)x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值為2π．
其中正確的命題有

3

個(gè)．

Answer 1

分析：（1）由正切函數(shù)f（x）=tanx的性質(zhì)即可判斷其正誤；
（2）利用指數(shù)型函數(shù)y=(

1

2

)|x|的性質(zhì)即可判斷（2）的正誤；
（3）由三角函數(shù)的圖象變換即可知（3）的正誤；
（4）利用函數(shù)f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的性質(zhì)可求其值域，從而可知（4）的正誤；
（5）利用余弦函數(shù)f（x）=2cosx的性質(zhì)可判斷（5）．

解答：解：（1）由y=tanx=0可得x=kπ（k∈Z），故函數(shù)f（x）=tanx有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，正確；
（2）∵(

1

2

)|x|-m=0有解?曲線y=(

1

2

)|x|與y=m有公共點(diǎn)，
∵指數(shù)型函數(shù)y=(

1

2

)|x|的值域?yàn)椋?，1]，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1]，正確；
（3）∵f（x）=2sin2x，
∴把函數(shù)f（x）=2sin2x的圖象沿x軸方向向左平移

π

6

個(gè)單位后，得f（x+

π

6

）=2sin2（x+

π

6

），故（3）正確；
（4）∵f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的值域是[0，1]，故（4）錯(cuò)誤；
（5）不妨令x₁=π，x₂=0，滿足對任意的實(shí)數(shù)x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，故|x₁-x₂|的最小值為π，
∴（5）錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的命題有3個(gè)．
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查正切函數(shù)的性質(zhì)，考查指數(shù)型函數(shù)、三角函數(shù)的圖象變換、正弦型函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．