Question

α-l-β是直二面角，直線a與α所成角為30°，則a與β所成角

1. A.
   60°
2. B.
   小于60°
3. C.
   取值范圍為[0°，90°]
4. D.
   取值范圍為[0°，60°]

Answer 1

D
分析：設(shè)線段AB夾在直二面角α-l-β內(nèi)，A∈α，B∈β，如果AB與平面α、β所成的角分別為α和β，過A在α內(nèi)做AC垂直于l于C點(diǎn)，過B在β內(nèi)做BD垂直于l于D點(diǎn)． 在β內(nèi)做BE平行l(wèi)，在β內(nèi)做CE平行BD，交點(diǎn)為E，連接AE，AD，BC，根據(jù)AD＞AC判斷∠ABC＜∠ABD，由于∠ABD+∠DAB=90°進(jìn)而知α+β＜90°，當(dāng)AB與l垂直時(shí)α+β=90° 當(dāng)AB與l平行時(shí)α+β=0，最后綜合答案可得α+β的范圍為0≤α+β≤90°；再結(jié)合直線a與α所成角為30°即可得到答案．
解答：設(shè)線段AB夾在直二面角α-l-β內(nèi)，A∈α，B∈β，

如果AB與平面α、β所成的角分別為α和β，
過A在α內(nèi)做AC垂直于l于C點(diǎn)，過B在β內(nèi)做BD垂直于l于D點(diǎn)．
在β內(nèi)做BE平行l(wèi)，在β內(nèi)做CE平行BD，交點(diǎn)為E，連接AE，AD，BC
則∠DAB=α，∠ABC=β，sin∠ABC=ACAB，sin∠DAB=ADAB
因?yàn)锳D＞AC，所以∠ABC＜∠ABD，
∠ABD+∠DAB=90°，所以α+β＜90°
當(dāng)AB與l垂直時(shí)α+β=90°
當(dāng)AB與l平行時(shí)α+β=0
∴0≤α+β≤90°；
又因?yàn)橹本�a與α所成角為30°；
所以：a與β所成角的范圍是：[0⁰，，60°]
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間中直線與平面的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵是判斷出當(dāng)直線與兩面角的棱平行或垂直時(shí)的情況．