Question

已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l分別交x軸、y軸于A（a，0）、B（0，b）兩點(diǎn)（a＞2，b＞2），O為原點(diǎn)．
（1）求證：（a-2）（b-2）=2；
（2）求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程；
（3）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）圓C的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，其圓心為（1，1），半徑為1依題設(shè)直線l：

x

a

+

y

b

=1，由圓C與l相切能夠證明（a-2）（b-2）=2；
（2）設(shè)線段AB中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

x= a 2 y= b 2

?

a=2x b=2y

．由此能夠得到所求的軌跡方程．
（3）S△AOB=

1

2

ab．由于(a-2)(b-2)=2即ab=-2+2(a+b)．再由基本不等式能夠得到△AOB面積的最小值．

解答：解：（1）∵圓C的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，∴其圓心為（1，1），半徑為1依題設(shè)直線l：

x

a

+

y

b

=1，（2分）
由圓C與l相切得：1=

|a+b-ab|

a2+b2

?(a-2)(b-2)=2（4分）
（2）設(shè)線段AB中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

x= a 2 y= b 2

?

a=2x b=2y

．（6分）
代入（a-2）（b-2）=2可得2（x-1）（y-1）=1（x＞1）即為所求的軌跡方程．（8分）
（3）S△AOB=

1

2

ab．由于(a-2)(b-2)=2即ab=-2+2(a+b)．（10分）a+b≥2

ab

?ab-4

ab

+2≥0?

ab

≥2+

2

．（11分）當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2+

2

時，△AOB的面積的最小值為3+2

2

（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解，注意公式的合理運(yùn)用．