Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R．
（I）當(dāng)a=-1時，求f（x）的最大值；
（II）對f（x）圖象上的任意不同兩點(diǎn)P₁（x₁，x₂），P（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂），證明f（x）圖象上存在點(diǎn)P（x，y），滿足x₁＜x＜x₂，且f（x）圖象上以P為切點(diǎn)的切線與直線P₁P₂平等；
（III）當(dāng)時，設(shè)正項數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=f'（a_n）（n∈N^*），若數(shù)列{a_2n}是遞減數(shù)列，求a₁的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)判斷出其大于零得到函數(shù)在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)，所以f（1）為最小值，f（e）為最大值，求出即可；
（II）直線P₁P₂的斜率k由P₁，P₂兩點(diǎn)坐標(biāo)可表示為 ；由（1）知-x+lnx≤-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號；可得 +＜-1，整理可得 ＜，同理，由 ，得 ；所以P₁P₂的斜率 ，在x∈（x₁，x₂）上，有 ，可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，f（x）=-x+lnx，．
對于x∈（0，1），有f'（x）＞0，∴f（x）在區(qū)間（0，1]上為增函數(shù)，
對于x∈（1，+∞），有f'（x）＜0，∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)，．
∴f_max（x）=f（1）=-1；
（II）直線P₁P₂的斜率為 ；
由（1）知-x+lnx≤-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，
∴，
同理，由 ，可得 ；
故P₁P₂的斜率 ，
又在x∈（x₁，x₂）上，，
所以f（x）圖象上存在點(diǎn)P（x，y），滿足x₁＜x＜x₂，且f（x）圖象上以P為切點(diǎn)的切線與直線P₁P₂平行；
（III）f（x）=，f′（x）=，∴a_n+1=+，
a₃=，a₄==＜a₂⇒2a₂²-3a₂-2＞0，
⇒（2a₂+1）（a₂-1）＞0⇒a₂＞2⇒⇒0＜a₁＜2，
下面我們證明：當(dāng)0＜a₁＜2時，a_2n+2＜a_2n，且a_2n＞2（n∈N₊）
事實上，當(dāng)n=1時，0＜a₁＜2⇒a₂=，
a₄-a₂=⇒a₄＜a₂，結(jié)論成立．
若當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即a_2k+2＜a_2k，且a_2k＞2，則
a_2k+2=⇒a_2k+4=，
a_2k+4-a_2k+2=
⇒a_2k+4＜a_2k+2，
由上述證明可知，a₁的取值范圍是（0，2）．
點(diǎn)評：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上過某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值問題，也考查了利用函數(shù)證明不等式的問題，以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，考查運(yùn)算能力和分析解決問題能力，屬難題．