Question

（2013•南開區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=x³-tx²+3x，若對(duì)于任意的a∈[1，2]，b-a=1，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

A．（-∞，3]

B．（-∞，5]

C．[3，+∞）

D．[5，+∞）

Answer 1

分析：由f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減，得f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在（a，b）上恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得

3a2-2ta+3≤0 3b2-2tb+3≤0

，即

3a2-2ta+3≤0 3(a+1)2-2t(a+1)+3≤0

，又對(duì)于任意的a∈[1，2]，b-a=1，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減，則不等式組關(guān)于a恒成立，分離出參數(shù)t后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題可解決．

解答：解：f′（x）=3x²-2tx+3，
因?yàn)閒（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減，
所以f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在（a，b）上恒成立，
所以有

3a2-2ta+3≤0 3b2-2tb+3≤0

，即

3a2-2ta+3≤0 3(a+1)2-2t(a+1)+3≤0

，
所以

t≥ 3 2 (a+ 1 a ) t≥ 3 2 [(a+1)+ 1 a+1 ]

（*），
因?yàn)閷?duì)于任意的a∈[1，2]，f（x）在（a，b）上單調(diào)遞減，所以（*）式恒成立，
又

3

2

(a+

1

a

)≤

3

2

(2+

1

2

)=

15

4

（a=2時(shí)取等號(hào)），

3

2

[(a+1)+

1

a+1

]≤

3

2

(3+

1

3

)=5（a=2時(shí)取等號(hào)），
所以

t≥ 15 4 t≥5

，即t≥5，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．