Question

己知實數(shù)m≠0，又

a

=(x2-1，mx)，

b

=(mx，

1

m

)，設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

．
（1）若m＞0，且f（-2）=f（2），求m的值；
（2）若對一切正整數(shù)k，有f（2k）＞f（2k-1），求m的取值范圍．

Answer 1

分析：可先由題條件

a

=(x2-1，mx)，

b

=(mx，

1

m

)，設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

，整理出函數(shù)的解析式．
（1）由f（-2）=f（2），建立起關(guān)于m的方程，解此方程求出m的值；
（2）由題意，對一切正整數(shù)k，有f（2k）＞f（2k-1）恒成立，代入函數(shù)解析式可得（4k²-1）m^2k+m^2k-1＞（4k²-4k）m^2k-1+m^2k-2恒成立，可將此不等式整理成關(guān)于k的二次函數(shù)，轉(zhuǎn)化為g（k）=4（m²-m）k²+4mk-m²+m-1對一切正整數(shù)k恒成立的問題，由于最高次項的系數(shù)含有要求的參數(shù)，且其符號對二次函數(shù)的開口方向有關(guān)，故要對二次項系數(shù)分類討論，解出每一類中的參數(shù)的范圍，再求它們的并集得出m的取值范圍

解答：解：

a

=(x2-1，mx)，

b

=(mx，

1

m

)，設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

．
可得f（x）=（x²-1）m^x+m^x-1
（1）由題知3m^-2+m^-3=3m²+m，即m^-4（3m²+m）=3m²+m，
∴m^-4=1，
∴m=±1，又m＞0，
∴m=1；
（2）由題知（4k²-1）m^2k+m^2k-1＞（4k²-4k）m^2k-1+m^2k-2，兩邊同除m^2k-2，
得（4k²-1）m²+m＞（4k²-4k）m+1，
整理得4（m²-m）k²+4mk-m²+m-1＞0
記g（k）=4（m²-m）k²+4mk-m²+m-1
①當m²-m＞0，即m＞1或m＜0時，g（k）的對稱軸為k=-

1

2(m-1)

＜1
故要使g（k）＞0對一切正整數(shù)k恒成立，只需g（1）＞0
即3m²+m-1＞0，解得m＞

-1+ 13

6

或m＜

-1- 13

6

∴m＞1或m＜

-1- 13

6

②當m²-m=0，即m=0或1時，m=0時，等價于-1＞0恒成立，顯然不符合題意m=1時，等價于4k-1＞0對一切正整數(shù)k恒成立，顯然符合題意
③當m²-m＜0，即0＜m＜1時，g（k）是開口向下的拋物線，由圖象知對一切正整數(shù)k，g（k）＞0不可能恒成立
綜上所述m＜

-1- 13

6

或m≥1．

點評：本題考點是平面向量綜合題，考察了數(shù)量積的運算，解方程，恒成立的不等式及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是第二小題中不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立，是本題的亮點，也是本題的難點，熟練熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的重點，本題考察了分類討論的思想，轉(zhuǎn)化的思想及推理判斷的能力，是難度較大的題，易因為不知怎么轉(zhuǎn)化致使無法下手．