Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對任意的正整數(shù)n，都有a_n=5S_n+1成立，記bn=

4+an

1-an

(n∈N*)．
（I）求數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為R_n，是否存在正整數(shù)k，使得R_n≥4k成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)k；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）記c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N^*），設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：對任意正整數(shù)n都有Tn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中給的a_n=5S_n+1，繼而可得a_n-1=5s_n-1+1，兩式子相減得，a_n-a_n-1=5a_n，因此an=-

1

4

an-1，因而可得出a_n，b_n的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)b_n的通項(xiàng)公式，算出的前n項(xiàng)和為R_n，再計(jì)算出是否存在正整數(shù)k．
（3）根據(jù)b_n的通項(xiàng)公式，計(jì)算出c_n的通項(xiàng)公式，再比較T_n與

3

2

的大�。�

解答：解：（ I）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=5S₁+1，∴a1=-

1

4

又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1∴an+1-an=5an+1，即

an+1

an

=-

1

4

∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a1=-

1

4

，公比為q=-

1

4

的等比數(shù)列，
∴an=(-

1

4

)n，bn=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

(n∈N*)
（ II）不存在正整數(shù)k，使得R_n≥4k成立．
證明：由（I）知bn=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

=4+

5

(-4)n-1

∵b2k-1+b2k=8+

5

(-4)2k-1-1

+

5

(-4)2k-1

=8+

5

16k-1

-

20

16k+4

=8-

15×16k-40

(16k-1)(16k+4)

＜8．
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m（m∈N^*）
∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-1+b_2m）＜8m=4n
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m-1（m∈N^*）
∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-3+b_2m-2）+b_2m-1＜8（m-1）+4=8m-4=4n
∴對于一切的正整數(shù)n，都有R_n＜4k
∴不存在正整數(shù)k，使得R_n≥4k成立．
（III）由bn=4+

5

(-4)n-1

得cn=b2n-b2n-1=

5

42n-1

+

5

42n-1+1

=

25×16n

(16n-1)(16n+4)

=

25×16n

(16n)2+3×16n-4

＜

25×16n

(16n)2

=

25

16n

又b1=3，b2=

13

3

，∴c2=

4

3

，當(dāng)n=1時(shí)，T1＜

3

2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，
Tn＜

4

3

+25×(

1

162

+

1

163

+…+

1

16n

)=

4

3

+25×

1 162 [1-( 1 16 )n-2]

1- 1 16

＜

4

3

+25×

1 162

1- 1 16

=

69

48

＜

3

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查數(shù)列遞推式的求解及相關(guān)計(jì)算．