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        1. 已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)的定義域?yàn)镽,它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)取極值1.
          (1)求a,b,c的值;
          (2)求證:曲線y=f(x)上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B,使過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線都垂直于直線AB.
          【答案】分析:(1)通過(guò)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求出b的值,再根據(jù)當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)取極值1,建立兩個(gè)方程組,解之即可;
          (2)由過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線都垂直于直線AB可知兩切線平行,根據(jù)切線與AB垂直建立等量關(guān)系,驗(yàn)證判別式是否大于零即可.
          解答:解:(1)由已知,f(-x)=-f(x),即bx2=0恒成立,
          故b=0.所以f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c.

          解得
          (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),
          ,過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線平行,故f′(x1)=f′(x2),
          得:x12=x22.由于x1≠x2,所以x1=-x2,
          于是y1=-y2.因?yàn)檫^(guò)A點(diǎn)的切線垂直于直線AB,
          所以,△=-12<0,方程無(wú)解.
          因此,不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B,使過(guò)A、B的切線都垂直于直線AB.
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          a-x2
          x
          +lnx  (a∈R , x∈[
          1
          2
           , 2])

          (1)當(dāng)a∈[-2,
          1
          4
          )
          時(shí),求f(x)的最大值;
          (2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過(guò)原點(diǎn),則不等式f(x)>
          34
          的解集為
          (-∞,-2)
          (-∞,-2)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3),解不等式f(
          2x
          )>3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿足a•b≠0
          (1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
          (2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
          f(x)   ,  x>0
          -f(x) ,    x<0
           給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時(shí),若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號(hào)是
           

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