Question

（2012•豐臺(tái)區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2+1（a∈R）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若a＞0，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，a ²-3）上存在極值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若a＞2，求證：函數(shù)y=f（x）在（0，2）上恰有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，由題目條件知函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，從而建立關(guān)于a的方程，可求得a的值；
（Ⅱ）令f'（x）=0求出其解x=0或x=2a，根據(jù)條件a＞0，得不在區(qū)間（a，a²-3）內(nèi)，利用要使函數(shù)在區(qū)間（a，a ²-3）上存在極值，建立關(guān)于a的不等式，求a的取值范圍；
（Ⅲ）由（II）f'（x）=0求出其解，根據(jù)a＞2，得到f'（x）＜0在（0，2）上恒成立，函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，從而得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x²-2ax，…（1分）
f'（1）=1-2a，…（2分）
因?yàn)榍�線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0平行
所以1-2a=-1，…（3分）
所以a=1．                                                 …（4分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，…（5分）
即f'（x）=x（x-2a）=0，所以 x=0或x=2a．                …（6分）
因?yàn)閍＞0，所以x=0不在區(qū)間（a，a²-3）內(nèi)，
要使函數(shù)在區(qū)間（a，a ²-3）上存在極值，只需a＜2a＜a²-3．      …（7分）
所以a＞3．                                                 …（9分）
（Ⅲ）證明：令f'（x）=0，所以 x=0或x=2a．
因?yàn)閍＞2，所以2a＞4，…（10分）
所以f'（x）＜0在（0，2）上恒成立，函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減．
又因?yàn)閒（0）=1＞0，f(2)=

11-12a

3

＜0，…（11分）
所以f（x）在（0，2）上恰有一個(gè)零點(diǎn)．                             …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，函數(shù)的零點(diǎn)，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義等，以及學(xué)生靈活轉(zhuǎn)化題目條件的能力，是個(gè)中檔題．