Question

（1）若|a|＜1，|b|＜1，比較|a+b|+|a-b|與2的大小，并說明理由；
（2）設(shè)m是|a|，|b|和1中最大的一個(gè)，當(dāng)|x|＞m時(shí)，求證：|

a

x

+

b

x2

|＜2.

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件知，利用不等式的性質(zhì)不易找到證明的方法，故根據(jù)其不為負(fù)的情況對(duì)其進(jìn)行平方，讓其與4來進(jìn)行比較．
（2）對(duì)不等式的左邊用不等式的性質(zhì)放大，再由m是|a|，|b|和1中最大的一個(gè)，|x|＞m再一次放大，證出放大的表達(dá)式的值小于2，由不等號(hào)的傳遞性知可得結(jié)論．

解答：解：（1）|a|＜1，|b|＜1，有|a+b|+|a-b|＜2，證明如下
∵（|a+b|+|a-b|）²=2（a²+b²）+2|a²-b²||a|＜1，|b|＜1，
當(dāng)|a|≤|b|時(shí)，即a²≤b²，有∵（|a+b|+|a-b|）²=4b²＜4，即|a+b|+|a-b|＜2
當(dāng)|a|≥|b|時(shí)，即a²≥b²，有∵（|a+b|+|a-b|）²=4a²＜4，即|a+b|+|a-b|＜2
綜上知|a|＜1，|b|＜1，|a+b|+|a-b|≤2
（2）因?yàn)閨x|＞m≥|b|且|x|＞m≥1，所以|x²|＞|b|．
又因?yàn)閨x|＞m≥|a|，所以|

a

x

+

b

x2

|≤|

a

x

|+|

b

x2

|＜

|a|

|x|

+

|b|

|x|2

＜

|x|

|x|

+

|x|2

|x|2

=2，
故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，證明不等式的方法很多，主要有作差法，放縮法．本題在證明過程中用到了放縮法，在每一小題的證明中由a，b大小的不確定又用到了分類討論．