Question

甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元 

(1)把全程運輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；

(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

Answer 1

(1) 函數(shù)及其定義域為y=S(+bv),v∈(0,c. (2) 為使全程運輸成本y最小，當≤c時，行駛速度應為v=,　當>c時行駛速度應為v=c.

解析:

(1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為,全程運輸成本為y=a·+bv²·=S(+bv)

∴所求函數(shù)及其定義域為y=S(+bv),v∈(0,c.

(2)依題意知，S、a、b、v均為正數(shù)

∴S(+bv)≥2S                      ①

當且僅當=bv,即v=時，①式中等號成立   

　  

若≤c則當v=時，有y_min＝2S；

若>c,則當v∈(0,c時，有S(+bv)－S(+bc)

=S［(－)+(bv－bc)］= (c－v)(a－bcv)

∵c－v≥0,且c>bc²,　∴a－bcv≥a－bc²>0

∴S(+bv)≥S(+bc),當且僅當v=c時等號成立，

也即當v=c時，有y_min ＝S(+bc)；

綜上可知，為使全程運輸成本y最小，當≤c時，行駛速度應為v=,　當>c時行駛速度應為v=c.

解法二: (1)同解法一.

(2)∵函數(shù)y=S(+bv),　v∈(0,+∞),

當x∈(0, )時，y單調(diào)減小，

當x∈(,+∞)時y單調(diào)增加，

當x=時y取得最小值，而全程運輸成本函數(shù)為y=Sb(v+),v∈(0,c:

　  

∴當≤c時，則當v=時，y最小，若>c時，則當v=c時，y最小.  結(jié)論同上.