Question

甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米/小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元 

(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

(1) 函數(shù)及其定義域?yàn)?i>y=S(+bv),v∈(0,c. (2) 為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)≤c時(shí)，行駛速度應(yīng)為v=,　當(dāng)>c時(shí)行駛速度應(yīng)為v=c.

解析:

(1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為,全程運(yùn)輸成本為y=a·+bv²·=S(+bv)

∴所求函數(shù)及其定義域?yàn)?i>y=S(+bv),v∈(0,c.

(2)依題意知，S、a、b、v均為正數(shù)

∴S(+bv)≥2S                      ①

當(dāng)且僅當(dāng)=bv,即v=時(shí)，①式中等號(hào)成立   

　  

若≤c則當(dāng)v=時(shí)，有y_min＝2S；

若>c,則當(dāng)v∈(0,c時(shí)，有S(+bv)－S(+bc)

=S［(－)+(bv－bc)］= (c－v)(a－bcv)

∵c－v≥0,且c>bc²,　∴a－bcv≥a－bc²>0

∴S(+bv)≥S(+bc),當(dāng)且僅當(dāng)v=c時(shí)等號(hào)成立，

也即當(dāng)v=c時(shí)，有y_min ＝S(+bc)；

綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)≤c時(shí)，行駛速度應(yīng)為v=,　當(dāng)>c時(shí)行駛速度應(yīng)為v=c.

解法二: (1)同解法一.

(2)∵函數(shù)y=S(+bv),　v∈(0,+∞),

當(dāng)x∈(0, )時(shí)，y單調(diào)減小，

當(dāng)x∈(,+∞)時(shí)y單調(diào)增加，

當(dāng)x=時(shí)y取得最小值，而全程運(yùn)輸成本函數(shù)為y=Sb(v+),v∈(0,c:

　  

∴當(dāng)≤c時(shí)，則當(dāng)v=時(shí)，y最小，若>c時(shí)，則當(dāng)v=c時(shí)，y最小.  結(jié)論同上.