Question

已知點F（0，1），直線l：y=-1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）A，B是軌跡M上異于坐標原點O的不同兩點，軌跡M在點A，B處的切線分別為l₁，l₂，且l₁⊥l₂，l₁，l₂相交于點D，求點D的縱坐標．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P點坐標，求出Q的坐標，由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

列式求解P點的軌跡M的方程；
（2）設(shè)出A，B的坐標，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在A，B處的切線的斜率，由斜率之積等于-1求出A，B的橫坐標的乘積，再由點斜式寫出軌跡M在點A，B處的切線方程，聯(lián)立后求解交點的坐標可得答案．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），則Q（x，-1），∵

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，
∴（0，y+1）•（-x，2）=（x，y-1）•（x，-2），
即2（y+1）=x²-2（y-1），即x²=4y，
∴動點P的軌跡M的方程x²=4y；
（2）設(shè)點A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∵l₁、l₂分別是拋物線C在點A、B處的切線，
∴直線l₁的斜率k1=y′|x=x1=

x1

2

，直線l₂的斜率k2=y′|x=x2=

x2

2

．
∵l₁⊥l₂，∴k₁k₂=-1，得x₁x₂=-4．
∵A、B是拋物線C上的點，
∴y1=

x12

4

，y2=

x22

4

，
∴直線l₁的方程為y-

x12

4

=

x1

2

(x-x1)，直線l₂的方程為y-

x22

4

=

x2

2

(x-x2)．
由

y- x12 4 = x1 2 (x-x1) y- x22 4 = x2 2 (x-x2)

，解得

x= x1+x2 2 y=- 2 2 =-1

．
∴點D的縱坐標為-1．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了平面向量的數(shù)量積運算，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了學(xué)生的計算能力，是中檔題．