Question

【題目】已知函數(shù)，為常數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，求證：.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見證明

【解析】

（1）分子所對應(yīng)的二次函數(shù),分情況討論的正負(fù)以及根與1的大小關(guān)系，即可；（2）由（1）得兩個極值點滿足，所以，則，將化簡整理為的函數(shù)即，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)證明不等式即可.

(1)函數(shù)的定義域為.

由題意，.

（i）若，則，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減.

（ii）若，由，得或，

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.

（iii）若，則，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，有兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng)，

由于的兩個極值點滿足，所以，則，

由于

.

設(shè).

.

當(dāng)時，，所以.

所以在單調(diào)遞減，又.

所以，即.