Question

（本小題滿分13分）

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當時,

(其中e是自然對數(shù)的底, )     

   （1）求的解析式;

   （2）設(shè)，求證：當時，；

  （3）是否存在實數(shù)a，使得當時，的最小值是3 ？如果存在，求出實數(shù)a的值；如果不存在，請說明理由。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

1）    …………………4分

   （2）證明：當且時，，

設(shè)

因為，所以當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，此時單調(diào)遞增，所以

又因為，所以當時，，此時單調(diào)遞減，所以      

所以當時，即 …………

  （3） 存在實數(shù)，使得當時，有最小值３…

 

【解析】解：.5.u設(shè)，則，所以

又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以 

故函數(shù)的解析式為    …………………4分

   （2）證明：當且時，，

設(shè)

因為，所以當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，此時單調(diào)遞增，所以

又因為，所以當時，，此時單調(diào)遞減，所以      

所以當時，即 ……………………8分

   （3）解：假設(shè)存在實數(shù)，使得當時，有最小值是3，則

（ⅰ）當，時，．在區(qū)間上單調(diào)遞增，，不滿足最小值是３

（ⅱ）當，時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，也不滿足最小值是３

（ⅲ）當，由于，則，故函數(shù) 是上的增函數(shù)．

所以，解得（舍去）         

（ⅳ）當時，則

當時，，此時函數(shù)是減函數(shù)；

當時，，此時函數(shù)是增函數(shù)．

所以，解得    

綜上可知，存在實數(shù)，使得當時，有最小值３…………13分