Question

已知函數(shù)f（x）=cos x+

1

2

x，x∈[-

π

2

，

π

2

]，sin x₀=

1

2

，x₀∈[-

π

2

，

π

2

]，那么下面命題中真命題的序號(hào)是

①③

①f（x）的最大值為f（x₀）；
②f（x）的最小值為f（x₀）
③f（x）在[-

π

2

，x0]上是增函數(shù)；
④f（x）在[x0，

π

2

]上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：由于sinx₀=

1

2

，x₀∈[-

π

2

，

π

2

]求出x₀，利用導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)的最值及其在[-

π

2

，

π

2

]上的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：因?yàn)閟inx₀=

1

2

，x₀∈[-

π

2

，

π

2

]，∴x₀=

π

6

；
又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

1

2

-sinx，
由f′（x）=

1

2

-sinx＞0，解得sinx＜

1

2

，
又因?yàn)閤∈[-

π

2

，

π

2

]，所以-≤

π

2

x＜

π

6

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=

1

2

-sinx＜0，解得sinx＞

1

2

，
又因?yàn)閤∈[-

π

2

，

π

2

]，所以

π

6

＜x≤

π

2

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以①③正確；
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題通過命題真假的判定考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用是高考必考內(nèi)容．