Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+kln（x+2），其中k≠0
（Ⅰ）當(dāng)k＞2判斷f（x）在（-2，+∞）上的單調(diào)性．
（Ⅱ）討論 f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）定義域，求導(dǎo)函數(shù)，判斷其符號(hào)，可得f（x）在（-2，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）分類討論：（1）當(dāng)k≥2時(shí)，由（Ⅰ）知f（x）無(wú)極值點(diǎn)；（2）當(dāng)k＜2時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值點(diǎn)．

解答：解：由題設(shè)函數(shù)f（x）定義域是（-2，+∞），…（1分）
函數(shù)f′(x)=2x+

k

x+2

=

2x2+4x+k

x+2

…①…（2分）
（Ⅰ）當(dāng)k＞2時(shí)，①式的△=16-8k=8（2-k）＜0，∴2x²+4x+k＞0，又x+2＞0，
∴f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

＞0…（4分）
∴f（x）在（-2，+∞）上的單調(diào)遞增． …（5分）
（Ⅱ）（1）當(dāng)k≥2時(shí)，由（Ⅰ）知f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

≥0，
∴f（x）在（-2，+∞）上的單調(diào)遞增，故f（x）無(wú)極值點(diǎn)．…（7分）
（2）當(dāng)k＜2時(shí)，由2x²+4x+k=0解得x=

-2± 4-2k

2

，此時(shí)f′（x）=0（8）
當(dāng)x＜

-2- 4-2k

2

或x＞

-2+ 4-2k

2

時(shí)，2x²+4x+k＞0
當(dāng)

-2- 4-2k

2

＜x＜

-2+ 4-2k

2

時(shí)，2x²+4x+k＜0…（8分）
1°當(dāng)k≤0時(shí)，

-2- 4-2k

2

≤-2，-2＜x＜

-2+ 4-2k

2

時(shí)，f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

＜0，x＞

-2+ 4-2k

2

，f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

＞0，
∴f（x）在(-2 ， 

-2+ 4-2k

2

)上單減，在(

-2+ 4-2k

2

 ， +∞)上單增，
∴x=

-2+ 4-2k

2

為極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)．…（10分）
2°當(dāng)0＜k＜2時(shí)，

-2- 4-2k

2

＞-2，
當(dāng)-2＜x＜

-2- 4-2k

2

或x＞

-2+ 4-2k

2

時(shí)，f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

＞0

-2- 4-2k

2

＜x＜

-2+ 4-2k

2

時(shí)，f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

＜0
∴f（x）在(

-2- 4-2k

2

 ， 

-2+ 4-2k

2

)上單減，在(-2 ， 

-2- 4-2k

2

)和(

-2+ 4-2k

2

 ， +∞)上單增，∴x=

-2- 4-2k

2

為極大值點(diǎn)，x=

-2+ 4-2k

2

為極小值點(diǎn)．…（12分）
綜上，k≤0時(shí)，x=

-2+ 4-2k

2

為極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)；0＜k＜2時(shí)，x=

-2- 4-2k

2

為極大值點(diǎn)，x=

-2+ 4-2k

2

為極小值點(diǎn)；k≥2時(shí)，f（x）無(wú)極值點(diǎn)．　　　　　　　　　　　　　　…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，恰當(dāng)分類，屬于中檔題．