Question

【題目】如圖，在底面為正方形的四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，點E是線段PC的中點．

（1）求異面直線AP與BE所成角的大��；

（2）若點F在線段PB上，使得二面角F－DE－B的正弦值為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：由已知條件可得兩兩垂直，因此以它們?yōu)樽鴺溯S建立空間直角坐標系，設(shè)，寫出各點坐標，（2）求得的夾角可得異面直線AP與BE所成角的大小（這個角是銳角）；（2），再求出的坐標，然后求出平面和平面的法向量，則法向量夾角與二面角相等或互補，可得出的方程，解之可得值．

試題解析：（1）在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，所以DA、DC、DP兩兩垂直，故以為正交基底，建立空間直角坐標系D－xyz．

因為PD＝DC，所以DA＝DC＝DP，不妨設(shè)DA＝DC＝DP＝2，

則D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0）．

因為E是PC的中點，所以E（0，1，1）．

所以＝（－2，0，2），＝（－2，－1，1），

所以cos<，>＝，

從而<，>＝

因此異面直線AP與BE所成角的大小為．

（2）由（1）可知，＝（0，1，1），＝（2，2，0），＝（2，2，－2）．

設(shè)＝λ，則＝（2λ，2λ，－2λ），從而＝＋＝（2λ，2λ，2－2λ）．

設(shè)m＝（x1，y1，z1）為平面DEF的一個法向量，

則即

取z1＝λ，則y1＝－λ，x1＝2λ－1．

所以m＝（2λ－1，－λ，λ）為平面DEF的一個法向量．

設(shè)n＝（x2，y2，z2）為平面DEB的一個法向量，

則即

取x2＝1，則y2＝－1，z2＝1．

所以n＝（1，－1，1）為平面BDE的一個法向量．

因為二面角F－DE－B的正弦值為，所以二面角F－DE－B的余弦的絕對值為，

即|cos<m，n>|＝，

所以，，

化簡得，4λ2＝1，因為點F在線段PB上，所以0≤λ≤1，所以λ＝，即．