Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．
（Ⅰ）若橢圓的焦距為2

3

，且兩條準(zhǔn)線間的距離為

8 3

3

，求橢圓的方程；
（Ⅱ）在（I）的條件下，橢圓上有一點(diǎn)M，滿足MF₁⊥MF₂，求△MF₁F₂的面積；
（Ⅲ）過(guò)焦點(diǎn)F₂作橢圓長(zhǎng)軸的垂線與橢圓交于第一象限點(diǎn)P，連接PO并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)Q，連接QF₂并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)H，若PH⊥PQ，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的焦距可求c，再由兩條準(zhǔn)線間的距離為

8 3

3

可求a，利用條件b²=a²-c²求出b²，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，利用橢圓定義得到MF₁+MF₂=4，由MF₁⊥MF₂得到MF12+MF22=12兩式聯(lián)立得到MF₁•MF₂=2，則△MF₁F₂的面積可求；
（Ⅲ）首先求出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用對(duì)稱性求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線QF₂的方程后和橢圓聯(lián)立求出H的坐標(biāo)，然后利用PH和PQ所在直線的斜率之積等于-1得到a，b的關(guān)系式，則離心率可求．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知2c=2

3

，∴c=

3

，
由

2a2

c

=

8 3

3

，得a²=

4 3

3

c=

4 3

3

×

3

=4，
∴b²=a²-c²=4-3=1．
即橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）由橢圓定義得MF₁+MF₂=4 ①
因?yàn)镸F₁⊥MF₂，所以MF12+MF22=12 ②
將①²-②：得MF₁•MF₂=2
故△MF₁F₂的面積S=

1

2

|MF1|•|MF2|=

1

2

×2=1；      
（Ⅲ）把x=c代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y=

b2(1- c2 a2 )

=

b2

a

，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(c，

b2

a

)，則Q(-c，-

b2

a

)，F(xiàn)₂（c，0），
直線QF₂方程為

y-0

- b2 a -0

=

x-c

-c-c

，即y=

b2

2ac

(x-c)，
與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1聯(lián)立得H點(diǎn)坐標(biāo)為(

4a2c-b2c

4c2+b2

，

b4

a(4c2+b2)

)，
由PH⊥PQ得，k_PQ•k_PH=-1，即

b2

ac

•

b4 a(4c2+b2) - b2 a

4a2c-b2c 4c2+b2 -c

=-1，
化簡(jiǎn)得a²=2b²，
即 a²=2（a²-c²），即 e2=

1

2

，又0＜e＜1，所以e=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，該題思路清晰，運(yùn)算復(fù)雜，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力．屬難題．