Question

沒橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

1(a＞b＞0)的左、右焦點分別F₁、F₂，點P是橢圓短軸的一個端點，且焦距為6，△P F₁F₂的周長為16．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求過點（3，0）且斜率為

4

5

的直線l被橢圓C所截線段的中點坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的標準方程及其參數(shù)a、b、c的關系即可得出；
（Ⅱ）把直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系就線段的中點坐標公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓的焦距為2c，由題意得

2c=6 2c+2a=16 a2=b2+c2

，解得

a=5 b=4 c=3

，
∴橢圓C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1；
（Ⅱ）過點（3，0）且斜率為

4

5

的直線l的方程為y=

4

5

(x-3)，
與橢圓的方程聯(lián)立

y= 4 5 (x-3) x2 25 + y2 16 =1

，消去y得到x²-3x-8=0，
∵x₁+x₂=3，∴線段AB的中點的橫坐標為

x1+x2

2

=

3

2

．
∴線段AB的中點的縱坐標為

4

5

×(

3

2

-3)=-

6

5

．
∴線段AB的中點的坐標為(

3

2

，-

6

5

)．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、根與系數(shù)的關系、線段的中點坐標公式是解題的關鍵．