Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱與底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分別是AB，A₁C的中點．
（1）求直線MN與平面A₁B₁C所成的角；
（2）在線段AC上是否存在一點E，使得二面角E-B₁A₁-C的余弦值為？若存在，求出AE的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別B₁A₁、B₁C₁、B₁B為x、y、z軸，建立空間直角坐標系B₁-xyz，如圖所示．算出B₁、C、A₁、B的坐標，從而得到M、A、C、N各點的坐標，得、、的坐標，進而算出且，利用線面垂直的判定定理得到MN⊥平面A₁B₁C，即MN與平面A₁B₁C所成的角為90°；
（2）設E（x，y，z）且=λ，可得=（2-2λ，2λ，2），利用垂直向量數(shù)量積為零的方法算出平面A₁B₁E的一個法向量為=（0，-，1）．平面A₁B₁C的法向量為=（0，1，-1），由二面角E-B₁A₁-C的余弦值為利用空間向量的夾角公式，建立關于λ的方程解出λ=得到AE=，從而得出存在滿足條件的點E．
解答：解：（1）分別B₁A₁、B₁C₁、B₁B為x、y、z軸，建立空間直角坐標系B₁-xyz，如圖所示
可得B₁（0，0，0），C（0，2，2），A₁（2，0，0），B（0，0，2），
則M（1，0，2），A（2，0，2），C（0，2，2），N（1，1，1）------------（2分）
=（0，2，2），=（0，1，-1），=（2，0，0）
∵，且，--------（4分）
∴MN⊥B₁C，MN⊥B₁A₁
結合B₁C∩B₁A₁=B₁，可得MN⊥平面A₁B₁C
即MN與平面A₁B₁C所成的角為90°．-----------------（5分）
（2）設E（x，y，z），且=λ，--------------（6分）
則（x-2，y，z-2）=λ（-2，2，0）
解之得x=2-2λ，y=2λ，z=2，=（2-2λ，2λ，2）-------（7分）
由（1）可知：平面A₁B₁C的法向量為=（0，1，-1），
設平面A₁B₁E的法向量為，
則，
則可解得=（0，-，1），----------------（9分）
∴=，可得2λ²-5λ+2=0，解之得或2-------（11分）
由于點E在線段上，所以λ=，此時AE=
即在線段AC上存在一點E，當AE的長為時，二面角E-B₁A₁-C的余弦值為．---------（12分）
點評：本題利用空間坐標系，證明了直線與平面所成角并探索二面角的大小問題．著重考查了線面垂直的判定定理和利用空間向量研究二面大小等知識點，屬于中檔題．