Question

閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 .

 (Ⅰ) 類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明:

;

 (Ⅱ)若的三個(gè)內(nèi)角滿足,試判斷的形狀.

(提示:如果需要，也可以直接利用閱讀材料及(Ⅰ)中的結(jié)論)

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ)見(jiàn)解析

(Ⅱ)勾股定理的逆定理知為直角三角形.

【解析】（1）寫出兩角和與差的余弦公式，兩式相減，類比已知條件整理可證結(jié)論；

（2）根據(jù)二倍角的正弦公式把分別用表示，再由正弦定理分別用表示，已知條件可轉(zhuǎn)化為.所以為直角三角形.也可以用（1）的結(jié)論化為角分析

解法一：(Ⅰ)證明:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821054285684745/SYS201207182106127006709542_DA.files/image006.png">，------①

，------②…………………1分

①-② 得.------③……………………2分

令有，

代入③得.………………………………5分

(Ⅱ)由二倍角公式,可化為

,…………………………………8分

所以.…………………………………9分

設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為，

由正弦定理可得.………………………………11分

根據(jù)勾股定理的逆定理知為直角三角形.…………………………………12分

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的結(jié)論和二倍角公式,可化為

，…………………………………8分

因?yàn)锳,B,C為的內(nèi)角，所以，

所以.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821054285684745/SYS201207182106127006709542_DA.files/image019.png">，所以,

所以.                                               

從而.……………………………………………9分

又,所以，故.……………………………………11分

所以為直角三角形.