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        1.  圖1是一個(gè)正方體的表面展開圖,MN和PB是兩條面對角線,請?jiān)趫D2的正方體中將MN和PB畫出來,并就這個(gè)正方體解決下列問題

          (1) 求證:MN//平面PBD; (2)求證:AQ平面PBD;

          (3)求二面角P-DB-M的余弦值。

           

          【答案】

          (1)只需證MN//BD;(2)只需證,。(3)。

          【解析】

          試題分析:畫出MN和PB如圖所示

          (1) 證明:在正方體ABCD-PMQN中

            MN//BD  MN//平面PBD     

          (2)證明:在正方體ABCD-PMQN中

             

          同理可證 :  

                  

          (3)解: 建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正方體的棱長為1

          則 A(1,0,0), Q(0,1,1) , C(0,1,0)

          由知平面PBD的一個(gè)法向量是

          平面MBD的一個(gè)法向量是

           二面角P-DB-M的余弦值為 .

          考點(diǎn):正方體的的平面展開圖;線面平行的判定定理;線面垂直的判定定理;二面角。

          點(diǎn)評:綜合法求二面角,往往需要作出平面角,這是幾何中一大難點(diǎn),而用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,經(jīng)過簡單運(yùn)算即可,從而體現(xiàn)了空間向量的巨大作用.二面角的向量求法: ①若AB、CD分別是二面的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的異面直線,則二面角的大小就是向量的夾角; ②設(shè)分別是二面角的兩個(gè)面α,β的法向量,則向量的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小。

           

          練習(xí)冊系列答案
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          (1)求MN與PQ所成角的大;

          (2)求PQ與平面MNQ所成角的大。

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          (1)求證:MN∥平面PBD;

          (2)求證:AQ⊥平面PBD;

          (3)求二面角P-DB-M的大。

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