Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是x軸上方橢圓E上的一點(diǎn)，且PF₁⊥F₁F₂，|PF1|=

3

2

，|PF2|=

5

2

．
（Ⅰ） 求橢圓E的方程和P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）判斷以PF₂為直徑的圓與以橢圓E的長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由P在橢圓E上，知a=2．由PF₁⊥F₁F₂，∴|F₁F₂|²=|PF₂|²-|PF₁|²=(

5

2

)2-(

3

2

)2=4．由此能求出橢圓E的方程和P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（Ⅱ）線段PF₂的中點(diǎn)M（0，

3

4

），以M（0，

3

4

）為圓心PF₂為直徑的圓M的方程為x2+(y-

3

4

)2=

25

16

，以橢圓E的長(zhǎng)軸為直徑的圓的方程為：x²+y²=4，由此可知兩圓相內(nèi)切．

解答：解：（Ⅰ）∵P在橢圓E上，∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，…．（1分）
∵PF₁⊥F₁F₂，∴|F₁F₂|²=|PF₂|²-|PF₁|²=(

5

2

)2-(

3

2

)2=4，…．（2分）
2c=2，c=1，∴b²=3．
所以橢圓E的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1…．（4分）
∵F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），∵PF₁⊥F₁F₂，
∴P（-1，

3

2

）…．（5分）
（Ⅱ）線段PF₂的中點(diǎn)M（0，

3

4

），
∴以M（0，

3

4

）為圓心PF₂為直徑的圓M的方程為x2+(y-

3

4

)2=

25

16

，
圓M的半徑r=

5

4

…．（8分）
以橢圓E的長(zhǎng)軸為直徑的圓的方程為：x²+y²=4，圓心為O（0，0），半徑為R=2
圓M與圓O的圓心距為|OM|=

3

4

=2-

5

4

=R-r，
所以兩圓相內(nèi)切  …（10分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓E的方程和P點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，判斷兩圓的位置關(guān)系，探究以GF為直徑的圓與以橢圓C的長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系．解題時(shí)要認(rèn)真審題材，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．