Question

如圖，在多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABG、平面ADF、平面CDE都與平面ABCD垂直，且ΔABG, ΔADF, ΔCDE都是正三角形.

(I)求證：AC// EF ；

(II) 求多面體ABCDEFG的體積.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 證明：方法一，如圖，分別取AD、CD的中點P、Q，連接FP，EQ.

∵△和△是為2的正三角形，

∴FP⊥AD,EQ⊥CD,且FP=EQ=.

又∵平面、平面都與平面垂直，

∴FP⊥平面, EQ⊥平面,∴FP∥QE且FP=EQ，

∴四邊形EQPF是平行四邊形，∴EF∥PQ.　　 ……………………….……..４分

∵ PQ是的中位線，∴PQ∥AC,

∴ EF∥AC　………………………..……..6分

方法二，以A點作為坐標原點，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，過點A垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．

根據題意可得，A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,2,)，

F(0,1,)，G(1,0,). …………………………………………..………………..４分

∴=（2，2，0），=(1，1，0)，則=，

∴∥，即有∥……………………………………………..……..6分

(Ⅱ)

【解析】略