Question

已知函數(shù)f（x）=asinx-x+b（a、b均為正的常數(shù)）．
（1）求證函數(shù)f（x）在（0，a+b]內(nèi)至少有一個零點；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在處有極值
①對于一切，不等式f（x）＞sinx+cosx總成立，求b的取值范圍；
②若函數(shù)f（x）在區(qū)間（上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：∵函數(shù)f（x）=asinx﹣x+b，a、b均為正的常數(shù)
∴f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）﹣a﹣b+b=a[sin（a+b）﹣1]≤0
∴函數(shù)f（x）在（0，a+b]內(nèi)至少有一個零點；
（2）f′（x）=acosx﹣1，∵函數(shù)f（x）在處有極值，
∴f′（）=acos﹣1=0，
∴a=2
∴f（x）=asinx﹣x+b=2sinx﹣x+b
①不等式f（x）＞sinx+cosx等價于b＞cosx﹣sinx+x對于一切總成立
設(shè)g（x）=cosx﹣sinx+x，
∴g′（x）=﹣sinx﹣cosx+1=
∵，∴，
∴，
∴g′（x）≥0
∴g（x）=cosx﹣sinx+x在上是單調(diào)增函數(shù)，且最大值為﹣1+
欲使b＞cosx﹣sinx+x對于一切總成立，只需要b＞﹣1+即可
②由f′（x）=2cosx﹣1＞0，可得x∈（k∈Z）
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（k∈Z）
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（上單調(diào)遞增
∴，
∴6k≤m≤1+3k，且m＞0
∵6k≤1+3k，1+3k＞0（k∈Z），
∴＜k≤0
∴k=0，0≤m≤1
即實數(shù)m的取值范圍為[0，1]．