Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程；
（2）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，且當(dāng)0≤x≤4m時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）m=2時(shí)，，
f′（x）=x²-4x+3，
函數(shù)在（0，0）處切線的斜率為f′（0）=3，
∴在（0，0）處切線方程為：3x-y=0．
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，
，
方程的判別式△=4m²-6m，
①當(dāng)△=4m²-6m≤0，即時(shí)，f′（x）≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)△=4m²-6m＞0，即時(shí)，
方程有兩不等實(shí)根，
，，
當(dāng)x∈（-∞，x₁）及（x₂，+∞）時(shí)，
f′（x）＞0，∴f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，
f′（x）＜0，∴f（x）單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，
f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，f（x）在及上單調(diào)遞增，
在，上單調(diào)遞減．
（3）由（2）知方程有兩不等根，
△=4m²-6m＞0，即，
令g（x）==，
要使對(duì)0≤x≤4m的實(shí)數(shù)恒成立，
只需g（x）_max≤0即可，
下面求g（x）在x∈[0，4m]上的最大值，
∵g′（x）=x²-4mx+3m²，令g′（x）=（x-m）（x-3m）=0，
則x=m，x=3m，，，
又，，
∴當(dāng)x∈[0，4m]時(shí)，，
∴，
即m≤2，又，
∴m的取值范圍為．
分析：（1）m=2時(shí)，，f′（x）=x²-4x+3，由此能求出函數(shù)在（0，0）處切線方程．
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，，方程的判別式△=4m²-6m，由此入手能夠分類討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．
（3）由有兩不等根，△=4m²-6m＞0，即，令g（x）==，由此能求出m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的切線方程的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．