Question

如放置在水平面上的組合體由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁與正三棱錐B-ACD組成，其中，AB⊥BC，且AB=BC=

2

，AA₁=2．E為BB₁的中點(diǎn)．
（1）求證：AC₁⊥平面A₁EC；
（2）求二面角D-AC-E的余弦；
（3）求直線A₁C與平面ACD所成角的正弦．

Answer 1

分析：（1）要證AC₁⊥平面A₁EC，首先想到ACC₁A₁為正方形，AC₁⊥A₁C，再根據(jù)題中三棱柱的結(jié)構(gòu)，考慮證明AC₁⊥CE為宜．而BC₁為AC₁在面BC₁中的射影，可以利用三垂線定理證出AC₁⊥CE，從而證得AC₁⊥平面A₁EC．
（2）取AC中點(diǎn)F，∠DFE為所求，在△DFE中求解．
（3）設(shè)θ為所求的線面角，求出A₁到面ACD的距離d，利用sinθ=

d

CA1

求解．

解答：解：（1）連接BC₁，∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，∴AB⊥面BC₁，
BC₁為AC₁在面BC₁中的射影，
∵tan∠BCE=

BE

BC

=

1

2

=tan∠BC₁C，∴∠BCE=∠BC₁C，又∠BC₁C+∠CBC₁=90°，
∴CE⊥BC₁，∴AC₁⊥CE（三垂線定理），又ACC₁A₁為正方形，∴AC₁⊥A₁C，∴AC₁⊥面⊥A₁EC．
（2）取AC中點(diǎn)F，由已知，△ADC為正三角形，△EAC為等腰三角形，∴DF⊥AC，EF⊥AC，則∠DFE為所求．
∵AE=

3

，CE=AE=

3

，AC=2

2

，∴EF=1，又DF=

3

2

×AC=

6

，DE=

2

+1，
在△DFE中由余弦定理得cos∠DFE=

2- 2

6

=

6 - 3

3

∴∠DFE=arccos

6 - 3

3

  （3）設(shè)θ為所求的線面角，∵DB∥面 ACA₁，D到 面 ACA₁ 的 距離為B 到 面 ACA₁ 的 距離，即為1
△ACD為正三角形，邊長(zhǎng)為2，S_△ACD=

3

4

×22=

3

，S_△ACA1=2，∴由V _A1-ACD=V _D-A1AC可得

1

3

×

3

×d=

1

3

×2×1，A₁到面ACD的距離d=

2 3

3

，
∴sinθ=

2 3 3

CA1

=

6

6

，所求角為arcsin

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題注意考查了空間直線和直線、直線和平面、垂直的判定與性質(zhì)，空間角求解，充分體現(xiàn)了空間向平面轉(zhuǎn)化的解決方法．