Question

設(shè)函數(shù)y=log₂（mx²-2x+2）定義域?yàn)锳，集合
（1）A=R，求m的取值范圍，
（2）A∩B≠∅，求m的取值范圍
（3）log₂（mx²-2x+2）＞2在B上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)y=log₂（mx²-2x+2）定義域?yàn)镽
∴mx²-2x+2＞0在R上恒成立
當(dāng)m=0時(shí)，x＜1，不在R上恒成立，故舍去
當(dāng)m≠0時(shí)解得m＞
∴A=R，求m的取值范圍（，+∞）
（2）∵A∩B≠∅，
∴mx²-2x+2＞0在集合上有解
∴在集合上有解
∴=2
即m＞-4
（3）∵log₂（mx²-2x+2）＞2在B上恒成立
∴mx²-2x-2＞0在集合上恒成立
∴在集合上恒成立
即=6
∴m＞12
分析：（1）根據(jù)函數(shù)y=log₂（mx²-2x+2）定義域?yàn)镽，則mx²-2x+2＞0在R上恒成立，討論二次項(xiàng)系數(shù)與判別式可求出m的取值范圍；
（2）根據(jù)A∩B≠∅，則mx²-2x+2＞0在集合上有解，然后利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)log₂（mx²-2x+2）＞2在B上恒成立，則mx²-2x-2＞0在集合上恒成立，然后利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．