Question

如圖，在三棱錐D-ABC中，已知BC丄AD，BC=2，AD=6，AB+BD=AC+CD=10，則三棱錐D一ABC的體積的最大值是

 

．

Answer 1

分析：過BC作與AD垂直的平面，交AD于E，過E作BC的垂線，垂足為F，則V=

1

3

S_△BCE×AD，進(jìn)而可分析出當(dāng)BE取最大值時(shí)，EF取最大值時(shí)，三棱錐D-ABC的體積也取最大值，利用橢圓的幾何意義及勾股定理，求出EF的最大值，可得答案．

解答：解：過BC作與AD垂直的平面，交AD于E
過E作BC的垂線，垂足為F，如圖所示：

∵BC=2，AD=6，
則三棱錐D-ABC體積V=

1

3

S_△BCE×（AE+DE）=V=

1

3

S_△BCE×AD=

1

3

×

1

2

•BC•EF×AD=2EF
故EF取最大值時(shí)，三棱錐D-ABC的體積也取最大值
即BE取最大值時(shí)，三棱錐D-ABC的體積也取最大值
在△ABD中，動(dòng)點(diǎn)B到A，D兩點(diǎn)的距離和為10，
故B在以AD為焦點(diǎn)的橢圓上，
此時(shí)a=5，c=3，故BE的最大值為b=

a2-c2

=4
此時(shí)EF=

BE2-( BC 2 )2

=

15

故三棱錐D一ABC的體積的最大值是2

15

故答案為：2

15

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是棱錐的體積，其中將求棱錐體積的最大值，轉(zhuǎn)化為求橢圓上動(dòng)點(diǎn)到長軸的距離最遠(yuǎn)是解答的關(guān)鍵．