Question

如右圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是棱DD₁的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，P為棱A₁B₁上任意一點(diǎn)，則直線(xiàn)OP與直線(xiàn)AM所成的角的大小為（ ）

A．與點(diǎn)P的位置有關(guān)
B．45°
C．60°
D．90°

Answer 1

【答案】分析：雖然直線(xiàn)OP為動(dòng)直線(xiàn)，但其在平面ADD₁A₁上的射影是不變的，依據(jù)三垂線(xiàn)定理，直線(xiàn)AM垂直于斜線(xiàn)在這個(gè)平面上的射影，就垂直于這條直線(xiàn)，從而發(fā)現(xiàn)AM恒與OP垂直．
解答：解：取AD中點(diǎn)N，則ON⊥平面ADD₁A₁，A₁N為OP在平面ADD₁A₁上的射影，
在正方形ADD₁A₁中，DM=AN，AD=AA₁，∴Rt△A₁NA≌Rt△AMD
∴AM⊥A₁N
由三垂線(xiàn)定理可知AM⊥OP
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三垂線(xiàn)定理的運(yùn)用，解題時(shí)要有較強(qiáng)的空間想象力，善于發(fā)現(xiàn)變化中的不變關(guān)系，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決