Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)-sin(2x+π)．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若將f（x）的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，

π

2

)上的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)f（x），然后直接由周期公式求周期；
（2）通過函數(shù)的圖象的平移求解函數(shù)g（x）的解析式為g（x）=2sin(2x-

π

3

)，由x的范圍求出2x-

π

3

的范圍，從而求得函數(shù)g（x）的最值，并得到相應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）由f(x)=2

3

sin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)-sin(2x+π)，得
f(x)=

3

sin(2x+

π

2

)+sin2x=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)．
∴f（x）的最小正周期為π；
（2）∵將f（x）的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，
∴g(x)=f(x-

π

3

)=2sin[2(x-

π

3

)+

π

3

]=2sin(2x-

π

3

)．
∵x∈[0，

π

2

）時(shí)，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

)，
∴當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

時(shí)，g（x）取得最大值2；
當(dāng)2x-

π

3

=-

π

3

，即x=0時(shí)，g（x）取得最小值-

3

．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的倍角公式及誘導(dǎo)公式，考查了三角函數(shù)的圖象平移，訓(xùn)練了三角函數(shù)的最值得求法，是中檔題．