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        2. 


          
	
          
		
	
          
	
          
		
          
			
		
          
		
          
	
          

          



          

          

          


          


          
	
          
			
          

			
          
				
          設(shè)橢圓 C1：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          （a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線 C2：x2=4
          		3
          y           的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率 e=
          1
          2
          ，過橢圓右焦點(diǎn) F2的直線 l 與橢圓 C 交于 M，N 兩點(diǎn)．
          （1）求橢圓C的方程；
          （2）是否存在直線 l，使得 
          OM
          •
          ON
          =-2          ，若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）確定橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合離心率，即可求得橢圓C的方程；
          （2）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及向量數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．
          解答：解：（1）拋物線 C2：x2=4
          		3
          y           的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，
          		3
          ），
          ∴橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為（0，
          		3
          ），即b=
          		3

          ∵e=
          c
          a
          =
          		1-
          b2
          a2
          =
          1
          2
          ，∴a=2，
          ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1          ；
          （2）由題意，直線l與橢圓必相交
          ①斜率不存在時(shí)，直線l為x=1，代入橢圓方程，可得y=±
          3
          2
          ，∴
          OM
          •
          ON
          =-
          9
          4
          ，不合題意；
          ②斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2），
          直線方程代入橢圓方程，消去y可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
          ∴x1+x2=
          8k2
          3+4k2
          ，x1x2=
          4k2-12
          3+4k2
          ，
          ∴
          OM
          •
          ON
          =x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-（x1+x2）+1]=
          4k2-12
          3+4k2
          +k2（
          4k2-12
          3+4k2
          -
          8k2
          3+4k2
          +1）=
          -5k2-12
          3+4k2
          =-2
          ∴k=±
          		2
          ，
          故直線l的方程為y=
          		2
          （x-1）或y=-
          		2
          （x-1）．
          點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C1：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖．若拋物線C2：y=x2-1與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過F1，F(xiàn)2點(diǎn)．
          （Ⅰ）求橢圓C1的方程；
          （Ⅱ）設(shè)M（0，-
          4
          5
          ），N為拋物線C2上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線C2的切線交橢圓C1于P、Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•浦東新區(qū)二模）（1）設(shè)橢圓C1：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          與雙曲線C2：9x2-
          9y2
          8
          =1          有相同的焦點(diǎn)F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點(diǎn)，且△MF1F2的周長為6，求橢圓C1的方程；
          我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
          （2）如圖，已知“盾圓D”的方程為y2=
          4x            (0≤x≤3)
          -12(x-4)  (3＜x≤4)
          ．設(shè)“盾圓D”上的任意一點(diǎn)M到F（1，0）的距離為d1，M到直線l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值； 
          （3）由拋物線弧E1：y2=4x（0≤x≤
          2
          3
          ）與第（1）小題橢圓弧E2：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          （
          2
          3
          ≤x≤a          ）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設(shè)過點(diǎn)F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點(diǎn)，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求
          r1
          r2
          的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•德州一模）設(shè)橢圓C1：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C2：x2=4
          		2
          y          的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率e=
          		3
          3
          ，過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．
          （I）求橢圓C的方程；
          （Ⅱ）是否存在直線l，使得
          OM
          •
          ON
          =-1          ，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)橢圓C1：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0）以F1、F2為左、右焦點(diǎn)，離心率e=
          1
          2
          ，一個(gè)短軸的端點(diǎn)（0，
          		3
          ）；拋物線C2：y2=4mx（m＞0），焦點(diǎn)為F2，橢圓C1與拋物線C2的一個(gè)交點(diǎn)為P．
          （1）求橢圓C1與拋物線C2的方程；
          （2）直線l經(jīng)過橢圓C1的右焦點(diǎn)F2與拋物線C2交于A1，A2兩點(diǎn)，如果弦長|A1A2|等于△PF1F2的周長，求直線l的斜率．
          

			
          

			
          
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