Question

a是實(shí)常數(shù)，函數(shù)f（x）對(duì)于任何的非零實(shí)數(shù)x都有f(

1

x

)=af(x)-x-1，且f(1)=1，則不等式f（x）-x≥0的解集為（　　）

• A、(-∞，-

  1

  5

  ]∪(0，1]
• B、(-∞，-

  1

  5

  ]∪[1，+∞)
• C、[-

  1

  5

  ，0∪(0，1]
• D、[-

  1

  5

  ，0)∪[1，+∞)

Answer 1

分析：根據(jù)f（1）=1，代入已知的等式中求出a的值，再把a(bǔ)的值代入等式得到一個(gè)關(guān)系式，記作①，把x換為

1

x

得到令一個(gè)關(guān)系式，記作②，把①代入②即可得到f（x）的解析式，把求出的f（x）代入不等式中，分x大于0和x小于0兩種情況考慮，當(dāng)x大于0時(shí)去分母時(shí)不等號(hào)方向不變，當(dāng)x小于0時(shí)去分母不等號(hào)方向改變，分別求出相應(yīng)的解集，求出兩解集的并集即為原不等式的解集．

解答：解：因?yàn)閒（1）=1，所以f（1）=af（1）-2，即a-2=1，解得a=3，
所以f（

1

x

）=3f（x）-x-1①，
設(shè)

1

x

=t，得到f（t）=3f（

1

t

）-

1

t

-1，即f（x）=3f（

1

x

）-

1

x

-1②，
將①代入②得：f（x）=3[3f（x）-x-1]-

1

x

-1，
化簡(jiǎn)得：f（x）=

3x

8

+

1

8x

+

1

2

，
代入不等式得：

3x

8

+

1

8x

+

1

2

-x≥0，
當(dāng)x＞0時(shí)，去分母得：5x²-4x-1≤0，即（5x+1）（x-1）≤0，
解得：-

1

5

≤x≤1，所以原不等式的解集為（0，1]；
當(dāng)x＜0時(shí)，去分母得：5x²-4x-1≥0，即（5x+1）（x-1）≥0，
解得：x≥1或x≤-

1

5

，所以原不等式的解集為（-∞，-

1

5

]，
綜上，原不等式的解集為（-∞，-

1

5

]∪（0，1]．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查了其他不等式的解法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．確定出f（x）的解析式是解本題的關(guān)鍵．