已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是
,一條漸近線的方程是
。
(1)求雙曲線的方程;
(2)若以為斜率的直線
與雙曲線
相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)
,且線段
的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為
,求
的取值范圍。
(1);(2)
的取值范圍是
【解析】
試題分析:(1)本題較易,注意利用已知條件建立方程組解得
,
即得所求.
(2)從確定三角形的面積表達(dá)式入手,建立的不等式
.通過設(shè)直線的方程為
,建立方程組
并整理,建立
的不等關(guān)系;
由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)
滿足
,
,
得到線段的垂直平分線的方程為
,
求得此直線與軸,
軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為
,
,
從而利用,整理得
,
,
將上式代入的不等關(guān)系式,得到
的不等式.
試題解析:(1)設(shè)雙曲線的方程為
,
由題設(shè)得解得
,
所以雙曲線方程為.
(2)設(shè)直線的方程為
,點(diǎn)
的坐標(biāo)滿足方程組
,整理得
,此方程有兩個(gè)不等實(shí)根,
于是且
,
整理得......③
由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)
滿足
,
,
從而線段的垂直平分線的方程為
,
此直線與軸,
軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為
,
,
由題設(shè)可得,整理得
,
,
將上式代入③式得,
整理得,
,解得
或
,
所以的取值范圍是
考點(diǎn):雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,三角形面積公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(08年龍巖一中沖刺文)(分)已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,右準(zhǔn)線為一條漸近線的方程是
過雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點(diǎn),R是弦PQ的中點(diǎn).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動點(diǎn),且2|AB|=|F1F2|,求線段AB的中點(diǎn)M的跡方程,并說明該軌跡是什么曲線。
(3)若在雙曲線右準(zhǔn)線L的左側(cè)能作出直線m:x=a,使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足,當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動時(shí),求a的取值范圍.
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