Question

設(shè)0＜a＜b＜1，P=log

1

2

a+b

2

，Q=

1

2

(log

1

2

a+log

1

2

b)，M=

1

2

log

1

2

(a+b)，則P，Q，M從小到大順序為

M＜P＜Q

．

Answer 1

分析：由已知可得：Q=

1

2

log

1

2

(ab)=log

1

2

ab

，M=log

1

2

a+b

，P=log

1

2

a+b

2

．只要比較

ab

、

a+b

、

a+b

2

的大小，再利用函數(shù)y=log

1

2

x在（0，+∞）上的單調(diào)性即可得出．

解答：解：由已知可得：Q=

1

2

log

1

2

(ab)=log

1

2

ab

，M=log

1

2

a+b

，P=log

1

2

a+b

2

．
∵0＜a＜b＜1，
∴0＜

a+b

＜

2

＜2，
∴a+b＜2

a+b

，
∴

a+b

2

＜

a+b

，
又

a+b

2

＞

ab

，
∴

a+b

＞

a+b

2

＞

ab

，
∵函數(shù)y=log

1

2

x在（0，+∞）上的單調(diào)遞減，
∴log

1

2

a+b

＜log

1

2

a+b

2

＜log

1

2

a b

，
∴M＜P＜Q．
故答案為M＜P＜Q．

點評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．