Question

設(shè)a∈R，f（x）為奇函數(shù)，且
（1）試求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）的解析式及f^-1（x）的定義域；
（2）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得對于任意的，f^-1（x）≤g（x）恒成立，如果存在，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，且x∈R所以f（0）=0，得a=1，（6分）
（2）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)k．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/158836.png' />，所以k＞0
由f^-1（x）≤g（x）得，所以，
所以當(dāng)時(shí)，k²≤1-x²恒成立（10分）
即，又k＞0
所以k的取值范圍是（14分）
分析：（1）利用f（x）為奇函數(shù)當(dāng)x=0有意義，則f（0）=0，求出a，求出f（x）的解析式；將函數(shù)f（x）看出關(guān)于x的方程，求出x，將x換成y，將y換成x求出反函數(shù)，求出f（x）的值域即反函數(shù)的定義域．
（2）先利用對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0求出k的范圍；利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去掉對數(shù)符號，將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立；轉(zhuǎn)化為函數(shù)的求最值．
點(diǎn)評：本題考查奇函數(shù)的特殊函數(shù)值f（0）=0、考查反函數(shù)的求法、利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決對數(shù)不等式問題，解決不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值．