Question

（2012•石景山區(qū)一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右頂點到右焦點的距離為

3

-1，短軸長為2

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過左焦點F的直線與橢圓分別交于A、B兩點，若線段AB的長為

3 3

2

，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右頂點到右焦點的距離為

3

-1，短軸長為2

2

，建立方程組，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線AB與x軸垂直時，|AB|=

4

3

，不符合題意；當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+1），代入消去y，利用韋達定理計算|AB|，結(jié)合線段AB的長為

3 3

2

，即可求得k的值，從而可得直線AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意，

a-c= 3 -1 b= 2 a2=b2+c2

，解得a=

3

，c=1．
∴橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1------------（4分）
（Ⅱ）當(dāng)直線AB與x軸垂直時，|AB|=

4

3

，不符合題意故舍掉；-----------（6分）
當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+1），
代入消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-6k2

2+3k2

，x₁x₂=

3k2-6

2+3k2

-----------（8分）
所以|AB|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

，------------（11分）
∵線段AB的長為

3 3

2

，
∴

4 3 (k2+1)

2+3k2

=

3 3

2

∴k²=2
∴k=±

2

，------------（13分）
所以直線AB的方程為：

2

x-y+

2

=0或

2

x+y+

2

=0．---------（14分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長的計算，聯(lián)立方程，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．